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Klosterneuburg (ist) - Wissenschaftler am IST Austria haben eine neue Eigenschaft des berühmten mathematischen
Sandhaufen-Modells entdeckt: sie konnten zeigen, dass sich die fraktalen Muster des Modells wie Wanderdünen
bewegen können. Damit fügen sie dem teilweise noch unerforschten Modell ein weiteres Mysterium hinzu.
Das sogenannte Abelsche Sandhaufenmodell wird seit mehr als 30 Jahren intensiv erforscht, um das Phänomen
der selbstorganisierten Kritikalität besser zu verstehen. Dieses Phänomen spielt in einer Vielzahl physikalischer,
biologischer und wirtschaftswissenschaftlicher Prozesse eine wichtige Rolle, wie zum Beispiel beim koordinierten
Feuern von Neuronen, bei der Ausbreitung von Waldbränden, in der Verteilung der Erdbebengrößen
und sogar im koordinierten Verhalten von Ameisenkolonien. Obwohl der Abelsche Sandhaufen als das archetypische
Modell zur Erforschung der selbstorganisierten Kritikalität angesehen wird, sind noch etliche Fragen zu seinen
Eigenschaften ungeklärt und stellen ein aktives Forschungsfeld dar. Moritz Lang und Mikhail Shkonikov vom
Institute of Science and Technology Austria (IST Austria) haben nun eine neue Eigenschaft dieses mathematischen
Modells entdeckt: Indem sie Sandkörner auf spezifische Weise auf den Sandhaufen „rieseln“ ließen, erzeugten
sie Dynamiken, die der Art ähneln wie Sanddünen in der Wüste Gobi oder der Namib entstehen, sich
fortbewegen, zusammenstoßen und schlussendlich verschwinden. Anders als Sanddünen in realen Wüsten
bestehen jedoch die Dünen in ihrer Arbeit, die in der aktuellen Ausgabe von PNAS veröffentlicht wurde,
aus selbstähnlichen fraktalen Mustern, ähnlich der berühmten Mandelbrot-Menge.
Die Regeln des „Sandhaufen-Experiments“ sind recht einfach: Das Modell besteht im Wesentlichen aus einem regelmäßigen
„Spielbrett“ mit quadratischen Feldern, ähnlich einem Schachbrett, auf das Sandkörner zufällig fallen
gelassen werden. Felder, die weniger als vier Sandkörner beinhalten, bleiben dabei stabil und verändern
sich nicht. Wenn sich jedoch mehr als vier Sandkörner auf einem Feld ansammeln, wird das Feld instabil und
"kippt". Bei einem solchen Kippen werden dann vier Sandkörner von dem instabilen Feld genommen und
gerecht auf die vier benachbarten Felder verteilt: eines nach oben, eines nach unten, eines nach links und eines
nach rechts. Dieser Prozess des Kippens kann dazu führen, dass auch die benachbarten Felder instabil werden
und kippen, was wiederum dazu führen kann, dass die nächsten Nachbarn kippen und so weiter - eine „Lawine“
entsteht. Ähnlich wie bei echten Lawinen in den Alpen haben diese Lawinen im Sandhaufenmodell keine charakteristische
Größe, und es ist äußerst schwierig vorherzusagen, ob das nächste Sandkorn eine große
Lawine verursacht, oder überhaupt keine.
Das Sandhaufenmodell wird zwar aufgrund der Einfachheit dieser Regeln regelmäßig als Beispiel in Einführungskursen
zur Programmierung an Universitäten oder sogar Schulen verwendet, weist jedoch verschiedene mathematische
und physikalische Phänomene auf, die bis heute ungeklärt sind - trotz mehr als drei Jahrzehnten intensiver
Forschung. Zu den faszinierendsten dieser Phänomene gehört das Auftreten von fraktalen Mustern im Sandhaufen.
Diese fraktalen Sandhaufen zeichnen sich durch sich wiederholende Muster aus, bei denen immer wieder dieselben
Formen erscheinen, jedoch in immer kleineren Varianten – man spricht von selbstähnlichen Mustern. Das Auftreten
dieser fraktalen Muster hat sich bisher jeder mathematischen Erklärung entzogen. Auch die Forscher am IST
Austria konnten dieses mathematische Rätsel auch nicht lösen. Stattdessen machten sie diese Rätzel
noch ein wenig mysteriöser, indem sie zeigten, dass diese fraktalen Sandhaufen scheinbar kontinuierlich ineinander
übergehen können. Sie konnten Filme produzieren, in denen die fraktalen Muster wahlweise, abhängig
von dem Standpunkt des Betrachters, entweder Dynamiken zeigen die der Fortbewegung realer Sanddünen ähneln,
oder aber „psychedelischen Filmen“ aus den 70er Jahren.
Eine mathematische Frage nicht zu lösen, sondern nur noch mysteriöser erscheinen zu lassen, scheint auf
den ersten Blick wissenschaftlich nicht zielführend zu sein. Die beiden Wissenschaftler, Moritz Lang, Postdoc
in der Forschungsgruppe von Professor Calin Guet, und Mikhail Shkonikov, Postdoc in der Gruppe von Professor Tamas
Hausel, glauben jedoch, dass ihre "psychedelischen Filme" der Schlüssel zum besseren Verständnis
des Sandhaufenmodells und damit möglicherweise auch vieler anderer physikalischer, biologischer oder sogar
wirtschaftlicher Phänomene sein könnten. "Wir haben sozusagen universelle Koordinaten für Sanddünen
gefunden", sagt Mikhail Shkonikov, "Im Prinzip können wir jetzt jede Düne in der Wüste
benennen, identifizieren und katalogisieren." Moritz Lang, ein theoretischer Biologe, fügt hinzu: "Der
Schlüssel zum Verständnis jedweder physikalischen oder biologischen Phänomene ist die Folgen dieser
Phänomene zu verstehen. Je mehr zwingende Konsequenzen eines Phänomens wir kennen, desto schwieriger
wird es wissenschaftliche Hypothesen zu entwickeln, die mit all diesen Konsequenzen übereinstimmen. In diesem
Sinne stellt die Kenntnis aller möglicher Sanddünen und der Art ihrer Fortbewegung viele Einschränkungen
dar, und wir hoffen, dass wir dadurch am Ende genügend Heu vom Heuhaufen entfernen können, um die Nadel
zu finden.“
Die beiden Forscher sehen viele Anwendungsmöglichkeiten ihrer theoretischen Arbeit auf reale Probleme, wie
in der Vorhersage von Erdbebengrößen, in der Funktionsweise des menschlichen Gehirns, in der Physik
oder sogar in den Wirtschaftswissenschaften: „In all diesen Bereichen finden wir Heuhaufen, die sich ähneln,
sehr ähneln. Vielleicht stellt sich am Ende heraus, dass es sich in Wirklichkeit immer um denselben Heuhaufen
handelt, und dass es darin nur eine Nadel gibt die man finden kann.“
Moritz Lang promovierte im Frühjahr 2015 an der ETH Zürich mit seiner Arbeit " Modular identification
and analysis of biomolecular networks" und kam im August 2015 an das IST Austria. Mikhail Shkonikov promovierte
an der Universität Genf und forscht seit 2017 am IST Austria.
Die Forschung wurde am IST Austria durchgeführt und erhielt eine Förderung aus dem ISTFELLOW-Programm,
einem Marie Sklodowska-Curie COFUND-Grant, kofinanziert durch das IST Austria und die Europäischen Union im
Rahmen des Forschungs- und Innovationsprogramms „Horizon 2020“. Dieses Programm wurde durch ein weiteres COFUND-Stipendium
abgelöst, das für Bewerbungen von qualifizierten Post-DoktorantInnen aus aller Welt offen steht: dem
ISTplus-Programm. https://ist.ac.at/research/postdoctoral-research/istplus/
Über das IST Austria
Das Institute of Science and Technology (IST Austria) in Klosterneuburg ist ein Forschungsinstitut mit eigenem
Promotionsrecht. Das 2009 eröffnete Institut widmet sich der Grundlagenforschung in den Naturwissenschaften,
Mathematik und Informatik. Das Institut beschäftigt ProfessorInnen nach einem Tenure-Track-Modell und Post-DoktorandInnen
sowie PhD StudentInnen in einer internationalen Graduate School. Neben dem Bekenntnis zum Prinzip der Grundlagenforschung,
die rein durch wissenschaftliche Neugier getrieben wird, hält das Institut die Rechte an allen resultierenden
Entdeckungen und fördert deren Verwertung. Der erste Präsident ist Thomas Henzinger, ein renommierter
Computerwissenschaftler und vormals Professor an der University of California in Berkeley, USA, und der EPFL in
Lausanne.
Originalpublikation:
Moritz Lang und Mikhail Shkolnikov: Harmonic dynamics of the Abelian
sandpile, PNAS 2019, https://doi.org/10.1073/pnas.1812015116
https://www.pnas.org/content/early/2019/02/05/1812015116
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